Investigación

Artículos

  • "Fundamental groups of real arrangements and torsion in the lower central series quotients." (con E. Artal y B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1704.04152 ArXiv 9 pags. (Enviado)
    Resumen↴

    Probamos que el grupo fundamental del complementario de una configuración de rectas reales complexificadas no está determinado por su retículo de intersección, dando un contraejemplo al Problema de Falk-Randell. También deducimos que la torsión en los cocientes de las series centrales descendentes no está determinada combinatoriamente, lo cual aporta una respuesta negativa a una pregunta de Suciu.

  • "Configurations of points and topology of real line arrangements." (con B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1702.00922 ArXiv 52 pags, incluyendo dos apéndices con dibujos detallados de pares de Zariski. (Enviado)
    Resumen↴

    Una de las cuestiones principales en el estudio de las configuraciones de rectas en el plano proyectivo complejo $\mathbb{CP}^2$ es la siguiente: ¿cuándo la combinatoria de una configuración determina sus propiedades topológicas? En este trabajo, introducimos un invariante topológico para configuraciones de rectas reales complexificadas: el peso de cámara (chamber weight). Este invariante está basado en el conteo con pesos sobre la configuración dual, localizados en cámaras particulares del plano proyectivo real $\mathbb{RP}^2$, y que utiliza únicamente propiedades geométricas.

    Haciendo uso de este punto de vista dual, construimos varios ejemplos de configuraciones de rectas reales complexificadas con la misma combinatoria pero diferentes encajes en $\mathbb{CP}^2$ (es decir, Zariski pairs), distinguidos por éste invariante. En particular, obtenemos nuevos pares de Zariski de 13, 15 y 17 rectas definidas sobre $\mathbb{Q}$ y conteniendo únicamente puntos dobles y triples. Para cada uno de ellos, derivamos varias degeneraciones conteniendo puntos de multiplicidad 2, 3 y 5, y que forman también pares de Zariski.

    Calculamos explícitamente el espacio de moduli de las combinatorias para uno de los ejemplos precedentes, probando que éste está formado por dos componentes conexas. También obtenemos tres caracterizaciones geométricas de dichas componentes: la existencia de dos cónicas tangentes, una tangemente a seis rectas y la otra conteniendo seix puntos triples, así como la colinearidad de tres puntos triples específicos.

  • "A semi-canonical reduction for periods of Kontsevich-Zagier."
    arXiv:1509.01097Pdf 26 páginas. (Enviado)
    Resumen↴

    La $\overline{\mathbb{Q}}$–algebra de periodos fue introducida por Kontsevich y Zagier como los números complejos cuya parte real e imaginaria son valores de integrales absolutamente convergentes de funciones $\mathbb{Q}$–racionales sobre dominios $\mathbb{Q}$–semi-algebraicos en $\mathbb{R}^d$. La conjetura de periodos de Kontsevich-Zagier afirma que si un periodo admite dos representaciones integrales, entonces podemos pasar de una expresión a la otra por medio de únicamente tres reglas respetando la racionalidad de funciones y dominios: sumas de integrales por integrando o dominio, cambio de variables y formula de Stokes.

    En este artículo, demostramos que todo periodo real no nulo puede representarse como el volumen de un conjunto $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{R}$–semi-algebraico compacto en $\mathbb{R}^d$, a partir de cualquier representación integral, a través de un algoritmo efectivo respetando las operaciones permitidas por la conjetura de periodos de Kontsevich-Zagier.

  • "Combinatorics of line arrangements and dynamics of polynomial vector fields." (con B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1412.0137 ArXiv 14 páginas. (Enviado)

    Apéndice Apéndice

    Resumen↴

    Sea $\mathcal{A}$ una configuración de rectas real y $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ el módulo de $\mathcal{A}$–derivaciones. Primero, damos una interpretación de $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ como el conjunto de campos vectoriales polinomiales que tienen a $\mathcal{A}$ como conjunto invariante. Caracterizamos los campos vectoriales teniendo un número infinito de rectas invariantes. Luego probamos que el grado minimal de campos vectoriales polinomiales en $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ fijando únicamente un conjunto finito de líneas no está determinado por la combinatoria de $\mathcal{A}$.

  • "On the minimal degree of logarithmic vector fields of line arrangements." (con B. Guerville-Ballé)
    Aparecerá en Proceedings of the XIII International Conference Zaragoza-Pau on Mathematics and its Applications .


En preparación

  • "On the equality of periods of Kontsevich-Zagier", con J. Cresson .
  • "Constructing Zariski pairs of line arrangements with given sub-combinatorics.", con B. Guerville-Ballé.
  • "Decibability and 0-recognition problem for periods of Kontsevich-Zagier.", con M. Yoshinaga.


Tésis



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