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  • "Fundamental groups of real arrangements and torsion in the lower central series quotients." (avec E. Artal et B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1704.04152 ArXiv 9 pages. (Soumis)
    Résumé↴

    Nous prouvons que le groupe fondamental du complémentaire d'un arrangement de droites réel complexifié n'est pas déterminé par son treillis d'intersection, donnant un contre-exemple au Problème de Falk-Randell. Nous en déduisons aussi que la torsion dans les quotients des séries centrales descendantes ne sont pas déterminés combinatoirement, ce qui donne une réponse négative à une question de Suciu.

  • "Configurations of points and topology of real line arrangements." (avec B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1702.00922 ArXiv 52 pages, contenant deux appendices avec plusieurs dessins detaillés des paires de Zariski. (Soumis)
    Résumé↴

    Une question centrale dans l'étude des arrangements de droites dans le plan projectif complexe $\mathbb{CP}^2$ est : quand la combinatoire d'un arrangement détermine-t-elle ses propriétés topologiques ? Dans le présent papier, nous introduisons un invariant topologique des arrangements des droites réels compléxifiés : le poids de la chambre (chamber weigth). Cet invariant est basé sur le calcul du poids des points, de la configuration duale de l'arrangement, situés dans une région particulière du plan projectif réel $\mathbb{RP}^2$ ; et ce, en ne travaillant qu'avec des propriétés géométriques.

    En utilisant ce point de vu dual, nous construisons plusieurs exemples d'arrangements réels compléxifiés ayant les même combinatoires et diffèrent plongements dans le plan projectif complexe $\mathbb{CP}^2$ (i.e. des paires de Zariski), qui sont distingués par cet invariant. En particulier, nous obtenons des paires avec 13, 15 et 17 droites définies sur $\mathbb{Q}$ et contenant uniquement des points doubles et triples. Pour chacune d'elles, nous construisons des dégénérations contenant des points de multiplicité 2, 3 et 5, qui sont également des paires de Zariski.

    Nous calculons explicitement l'espace des réalisations de la combinatoire de l'un de ces exemples et prouvons qu'il est formé de 2 composantes connexes. Nous obtenons également trois caractérisations géométriques de ces composantes: l'existence de deux coniques lisses, l'une tangente à 6 droites et l'autre contenant six point triples, ainsi que la colinéarité de 3 points triples.

  • "A semi-canonical reduction for periods of Kontsevich-Zagier."
    arXiv:1509.01097Pdf 26 pages. (Soumis)
    Résumé↴

    La ${\overline{\mathbb Q}}$-algèbre des périodes fut introduite par Kontsevich et Zagier comme les nombres complexes dont les parties réelle et imaginaire sont valeurs d'intégrales absolument convergentes de fonctions ${\mathbb Q}$-rationnelles sur des domaines ${\mathbb Q}$-semi-algébriques dans ${\mathbb R}^d$. La conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier affirme que si une période admet deux représentations intégrales, alors elles sont reliées par une suite finie d'opérations en utilisant uniquement trois règles respectant la rationalité des fonctions et domaines : sommes d'intégrales par intégrandes ou domaines, changement de variables et formule de Stokes.

    Dans cet article, nous démontrons que toute période réelle non nulle peut être représentée comme le volume d'un ensemble ${\overline{\mathbb Q}}\cap{\mathbb R}$-semi-algébrique compact, obtenu à partir de n'importe quelle représentation intégrale via un algorithme effectif en respectant les règles permises par la conjecture des périodes de Kontsevich-Zagier.

  • "Combinatorics of line arrangements and dynamics of polynomial vector fields." (avec B. Guerville-Ballé)
    arXiv:1412.0137 ArXiv 14 pages. (Soumis)

    Appendice Appendice

    Résumé↴

    Soit $\mathcal{A}$ un arrangement de droites réelles et $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ le module des $\mathcal{A}$–dérivations. Premièrement, on donne un interprétation de $\mathcal{D}(\mathcal{A}$ comme l’ensemble des champs de vecteurs polynomiaux possédant $\mathcal{A})$ comme ensemble invariant. Nous caractérisons les champs possédant une infinité de droites invariantes. Ensuite, nous démontrons que le degré minimal des éléments de $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ laissant invariant uniquement un nombre fini de droites n'est pas déterminé par la combinatoire de $\mathcal{A}$.

  • "On the minimal degree of logarithmic vector fields of line arrangements." (avec B. Guerville-Ballé)
    A paraître dans Proceedings of the XIII International Conference Zaragoza-Pau on Mathematics and its Applications .


En préparation

  • "On the equality of periods of Kontsevich-Zagier", avec J. Cresson .
  • "Constructing Zariski pairs of line arrangements with given sub-combinatorics.", avec B. Guerville-Ballé.
  • "Decibability and 0-recognition problem for periods of Kontsevich-Zagier.", avec M. Yoshinaga.


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